人形机器人建模与控制（二） - 高级运动学和动态建模

1. Introduction

在第一篇博客中，我们介绍了人形机器人建模的基础概念，包括空间运动的平移和旋转。本篇博客将深入探讨机器人学的运动学和动力学建模方法，特别是针对人形机器人的具体应用。

2. Kinematic Modeling

运动学方程

对于一个自由度的机器人系统，其从基座到末端执行器的齐次变换矩阵可以表示为：

其中，是旋转矩阵，是平移向量，描述了末端执行器相对于基座的位姿。

速度的雅可比矩阵

机器人的末端执行器速度与关节速度之间的关系由雅可比矩阵表示：

其中，是角速度，是线速度，是关节角度。

雅可比矩阵的两种形式

分析雅可比矩阵（Analytical Jacobian）

计算与表示依赖的雅可比矩阵，通过偏微分获得：

几何雅可比矩阵（Geometric Jacobian）

将关节速度映射到线速度和角速度：

这两者之间存在映射关系：

差分逆运动学

差分逆运动学通过求解雅可比矩阵的逆矩阵来计算关节角速度，使得末端执行器的速度尽可能接近期望速度：

当雅可比矩阵不可逆时，可以使用伪逆（pseudo-inverse）来求解：

其中，是雅可比矩阵的Moore-Penrose伪逆。

3. Dynamic Modeling

动力学基本方程

线性运动

动能：
势能：
运动方程：

角运动

动能：
运动方程：

弹簧系统

势能：
运动方程：

阻尼系统

能量损失：
运动方程：

拉格朗日力学

对于具有质心位置、质量、线速度和角速度的物体，其动能、势能和拉格朗日量分别为：

动能：
势能：
拉格朗日量：

系统的总动能和势能：

拉格朗日方程：

系统方程：

矩阵形式：

动力学方程的特性

惯性矩阵是有界对称正定矩阵：

反对称性质：

参数的线性关系：

功率关系

功率与广义速度之间的关系：

动力学方程包含外力

机器人动力学方程考虑外部力影响：

这个方程描述了机器人在外部力作用下的动力学行为，其中是作用在末端执行器上的外部力，通过雅可比矩阵传递到关节力矩上。

4. Floating Base (Underactuated) Robots

接下来我们要讨论浮动基准（欠驱动）机器人的动力学建模。这种机器人系统具有移动底座，不完全受控，因此需要特殊的建模方法。

在浮动基准（欠驱动）机器人中，我们引入了一些新的符号和表示：

需要注意的是：

在浮动基准机器人中： - 表示机器人的状态向量，包括浮动基准（floating base）的位姿和广义坐标。 - 表示机器人的速度向量，包括浮动基准的速度和广义速度。 - 表示机器人的加速度向量，包括浮动基准的加速度和广义加速度。

通过引入浮动基准，这些表示允许我们处理那些具有移动底座和不完全受控（欠驱动）的机器人系统。在浮动基准机器人中，浮动基准的位姿和速度是重要的，因为它们涉及机器人的整体运动和控制。广义坐标和广义速度则描述了机器人的内部自由度和关节运动。

动力学扩展

在浮动基准机器人的动力学建模中，惯性矩阵、科里奥利斯和离心力项以及重力项需要扩展：

在上述方程中： - 描述了机器人系统中的重力效应。对于浮动基准机器人，扩展为。 - 表示科里奥利斯和离心力项，扩展为。 - 表示惯性矩阵，扩展为。

扩展的力矩和外部力表示

符号和定义

是维度为的力矩向量。通过执行器选择矩阵（actuation selector matrix）扩展到。
: 这是一个维度为的力矩向量，表示关节空间中的力矩。
: 这是一个执行器选择矩阵，它的形式为这里，是一个的零矩阵，是一个的单位矩阵。这个矩阵用于将扩展到，形式为。

力和雅可比矩阵

表示外部力通过雅可比矩阵传递到广义坐标上的力。扩展为。
: 这里，是与广义坐标相关的雅可比矩阵。是作用在末端执行器上的外部力。通过，我们可以得到作用在关节空间的力。
: 扩展后的雅可比矩阵。具体形式为其中，是基础（base）部分的雅可比矩阵，是关节部分的雅可比矩阵。组合在一起，就包含了基础和关节的雅可比矩阵信息。

具体计算

: 这里，我们考虑是整个系统的状态向量，它包括了基础和关节的状态。是一个将基础部分和关节部分结合在一起的雅可比矩阵。
: 扩展后的雅可比矩阵将外部力从末端执行器传递到包括基础和关节在内的整个系统中，结果是一个维度为的向量。

动力学方程

首先是一般形式的动力学方程：

: 系统的质量矩阵（惯性矩阵），它取决于机器人的配置。
: 广义加速度向量。
: 科里奥利斯力和离心力矩阵，取决于机器人的配置和速度。
: 重力项，取决于配置。
: 关节力矩向量通过执行器选择矩阵传递到系统中。
: 外部力通过扩展雅可比矩阵传递到系统中。

平板脚机器人的动力学方程

对于具有平板脚的机器人，动力学方程可以具体化为：

其中：

: 分别表示作用在左脚和右脚上的外部力。每个外部力都是六维的，表示在 3D 空间中的力和力矩。
: 分别是左脚和右脚的雅可比矩阵，它们将这些外部力转换到系统的广义坐标空间中。

动力学方程的详细解释

惯性项 :
- 这个项表示系统的惯性效应，反映了机器人的加速度如何受到质量分布的影响。
科里奥利斯和离心力项 :
- 这个项包含了由机器人的速度引起的科里奥利斯力和离心力。
重力项 :
- 这个项表示重力对机器人各部分的作用。
执行器力矩项 :
- 这个项是由关节执行器产生的力矩，通过选择矩阵将这些力矩映射到系统的广义坐标中。
外部力项 :
- 这些项表示左脚和右脚的外部力对系统的影响。通过左脚和右脚的雅可比矩阵和，将这些外部力映射到广义坐标中。

5. Center of Mass Dynamics

符号定义和解释

: 表示浮动基准的原点。
: 表示质心的位置，也就是机器人的总质心。
: 质心雅可比矩阵，它描述了质心速度与关节速度之间的关系。
: 机器人的总质量。

质心动量矩阵

质心动量矩阵定义为：

这里，表示了质心动量矩阵，是机器人总质量，是质心雅可比矩阵。

质心雅可比矩阵

质心雅可比矩阵定义如下：

这里，表示质心在世界坐标系中的线速度，是质心雅可比矩阵，是广义速度向量。

质心雅可比矩阵的具体形式为：

其中： - : 机器人的第个部分的质量。 - : 第个部分的质心雅可比矩阵。

这个表达式表示质心雅可比矩阵是所有部分质心雅可比矩阵的质量加权平均。

质心速度计算

通过上面的定义，我们可以计算质心在世界坐标系中的线速度：

质心速度与广义速度的关系通过质心雅可比矩阵来描述。

以上方程和定义为描述机器人的质心动力学提供了一个完整的框架。质心动量矩阵、质心雅可比矩阵以及质心速度公式共同描述了机器人在浮动基准下的动力学行为。

6. Constraints

先来讨论一下约束分类：

6.1 运动学约束分类

运动学约束（kinematic constraints）:
- 运动学约束是用于限制机器人运动的一组方程或不等式。
等式约束（equality）:
- 等式约束定义为，表示某些变量之间的精确关系。
  - 完整约束（holonomic）:
    - 这些是仅依赖于广义坐标（位置）的约束。
      - 定常约束（scleronomic）:
        
        这类约束只依赖于广义坐标，不随时间变化。表示为。
      - 时变约束（rheonomic）:
        
        这类约束依赖于广义坐标和时间，表示为。
  - 非完整约束（nonholonomic）:
    - 这些约束不仅依赖于广义坐标，还依赖于广义速度。
      - 非完整约束可以表示为。
不等式约束（inequality）:
- 不等式约束定义为，表示变量之间的范围或限制关系。

运动学约束方程

下面的方程描述了系统中的运动学约束：

: 运动学约束矩阵，依赖于系统状态。
: 广义速度向量。

运动学约束矩阵的维度

的维度：

这里：

: 系统的自由度数。
: 约束的数量。

这个表示意味着是一个维度为的矩阵，其中是广义速度的维度。

6.2 运动学约束方程

极限情况下的动力学方程

当外部力和接触约束力趋向于无穷大时，机器人系统的动力学方程简化为：

这表示在极限条件下，机器人仅在内在力和力矩的作用下维持平衡。

约束力和约束方程

在有约束力的情况下，约束方程表示为：

这里，是约束矩阵，其维度为，其中是约束的自由度数。

能量守恒和约束力

约束力的能量守恒性质可以表示为：

这里，，其中是拉格朗日乘数，表示约束力的强度。

拉格朗日力学方程

在拉格朗日力学框架下，约束力引入了一个新的项：

这里，是拉格朗日函数，是外部作用力矩。

动力学方程包括约束力

将约束力显式地包括在内，动力学方程变为：

约束力显式依赖于作用力矩

最后，通过解约束力的显式表达式，我们得到：

和

结合以上方程，我们得到拉格朗日乘数的显式表达式：

这些方程展示了浮动基准机器人在约束条件下的动力学行为，并明确了约束力对作用力矩的依赖性。具体来说：

基本动力学方程: 描述了机器人在惯性、科里奥利力和重力作用下的运动。
约束方程: 描述了系统的运动学约束。
能量守恒和约束力: 结合拉格朗日乘数引入约束力。
最终方程: 通过显式表达式描述了约束力，其依赖于作用力矩、广义速度、惯性矩阵、科里奥利力和重力。

这些方程对理解和控制机器人在复杂约束条件下的行为非常重要，有助于设计更加稳定和高效的机器人控制系统。

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