二阶线性动力学系统 (second-order system)

二阶线性动力学系统是指描述系统运动的二阶微分方程。这种系统在物理和工程中广泛应用，包括机械振动、电气电路、控制系统等。

二阶线性动力学系统的基本概念

二阶线性动力学系统的基本形式是二阶线性常微分方程。其典型方程形式为：

这里：

• 是系统的响应（如位移、电压等）。
• 是响应的二阶导数，即加速度。
• 是响应的一阶导数，即速度。
• 是系统的惯性或质量。
• 是阻尼系数，描述系统的阻尼特性。
• 是刚度系数，描述系统的弹性特性。
• 是外部作用力或输入。

系统的标准形式

为了分析和设计，通常将二阶线性系统的方程标准化。标准形式为：

这里引入了两个新的参数：

• 是系统的固有频率，定义为 。
• 是系统的阻尼比，定义为 。

系统的特性

二阶线性动力学系统的特性主要由固有频率 和阻尼比 决定。根据阻尼比的不同，系统可以分为以下几类：

1. 欠阻尼系统 ()：
   • 系统响应会呈现振荡，并逐渐衰减到稳态。
   • 典型响应包括振荡频率 。
2. 临界阻尼系统 ()：
   • 系统响应不振荡，以最快的速度返回稳态。
   • 这是阻尼恰好足以阻止振荡的情况。
3. 过阻尼系统 ()：
   • 系统响应不会振荡，但返回稳态的速度比临界阻尼系统慢。
   • 过阻尼意味着阻尼过大，导致系统响应缓慢。
4. 无阻尼系统 ()：
   • 系统在没有任何阻尼的情况下会持续振荡。
   • 振荡频率为 。

系统的响应

二阶线性动力学系统的响应可以分为两部分：

• 自由响应：没有外部力作用（即 ）时，系统的自然振荡行为。自由响应完全由系统的初始条件决定。
• 强迫响应：在外部力 的作用下，系统的响应。强迫响应取决于外部输入的形式。

系统的例子

1. 机械振动系统：
   • 弹簧-阻尼-质量系统（如汽车悬挂系统）。
   • 质量 、阻尼系数 、弹簧刚度 。
2. 电气振荡电路：
   • RLC 串联电路（如谐振电路）。
   • 电感 、电阻 、电容 。

示例

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import solve_ivp

# 定义系统参数
m = 1.0   # 质量 (kg)
k = 20.0  # 刚度 (N/m)
c = 1.0   # 阻尼系数 (Ns/m)

# 计算固有频率和阻尼比
omega_n = np.sqrt(k / m)
zeta = c / (2 * np.sqrt(m * k))

# 定义二阶线性动力学系统的微分方程
def mass_spring_damper(t, y):
    x, v = y
    dxdt = v
    dvdt = -(c/m) * v - (k/m) * x
    return [dxdt, dvdt]

# 初始条件
x0 = 1.0  # 初始位移 (m)
v0 = 0.0  # 初始速度 (m/s)

# 时间范围
t_span = (0, 10)
t_eval = np.linspace(t_span[0], t_span[1], 1000)

# 使用 solve_ivp 求解微分方程
sol = solve_ivp(mass_spring_damper, t_span, [x0, v0], t_eval=t_eval)

# 提取解
t = sol.t
x = sol.y[0]
v = sol.y[1]

# 绘制结果
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(t, x, label='POS (x)')
plt.plot(t, v, label='VEL (v)')
plt.xlabel('TIME (s)')
plt.ylabel('response')
plt.title('Second Order System Response')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()